Quälltext vu Algebra aaluege

[[Datei:Aryabhata.jpeg|miniatur|Dr Aryabhata I. (476  bis öbbe 550), e bedütende indische Mathematiker und Astronom]]
[[Datei:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|miniatur|E Site us em Buech {{lang|ar-Latn|''[[Hisab al-dschabr wa-l-muqabala|al-Kitab al-Muchtasar fi hisab al-dschabr wa-l-muqabala]]''}}]]

D '''Algebra''' (vo arabisch ''al-ǧabr'', „Ergänze“, „Iirichte“ us em Ditel vom Buech ''Kitāb al-Dschamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind'' („Über s Rächne mit indische Ziffere“) vom [[al-Chwarizmi]]) isch äins vo de grundlegende [[Teilgebiete der Mathematik|Däilgebiet vo dr Mathematik]]. Si befasst sich mit de Äigeschaften vo [[Rechenoperation|Rächenoperazioone]]. Im Volksmund wird Algebra hüfig as s Rächne mit Umbekannte in Gliichige bezäichnet (zum Bischbil x + 1 = 2); die Umbekannte wird bzw. wärde mit Buechstabe daargstellt. As dr Begründer vo dr Algebra gältet dr Griech [[Diophantos von Alexandria|Diofantos vo Alexandria]], wo irgenäinisch zwüsche 100 v. d. Z. und 350 n. d. Z. gläbt het.
Si 13 Bänd umfassend Wärk [[Arithmetica]] isch s eltst bis hüt erhalte, wo di algebraische Method (also s Rächne mit Buechstabe) din bruucht wird.<ref>Vgl. Alten et al: 4000 Jahre Algebra; Berlin-Heidelberg 2003; p.95ff</ref>

== Geschichte ==
D Babylonier häi Gliichigssüsteem mit dr Form
:<math>\begin{align}
x + y =& p\\
xy =& q\,,
\end{align}</math>
wo ekwiwalänt zun ere [[Quadratische Gleichung|kwadratische Gliichig]] mit dr Form <math>x^2 + q = px</math> sin, chönne löse.<ref name=Stillwell92>{{Literatur | Autor = John Stillwell | Titel = Mathematics and Its History | Jahr = 2010 | Verlag = Springer New York | Ort = New York, NY | ISBN = 978-1-4419-6052-8 | Seiten = 92}}</ref> Si häi sich aber nid für exakti Löösige intressiert, sondern häi mit Hilf vo dr lineare Interpolazioon, approximativi Löösige usgrächnet.<ref name="Boyer30">{{Literatur | Autor = Carl B. Boyer | Titel = A History of Mathematics | Jahr = 2010 | Verlag = Wiley, J | Ort = New York, NY | ISBN = 978-0-470-52548-7 | Seiten = 30 | Online = [https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics Online]}}</ref> 

Die Alte Egüpter häi sich hauptsächlig mit lineare Gliichige beschäfdigt.<ref name="Boyer30" />
und Gliichige mit dr Form <math>x + ax = b</math> und <math>x + ax + bx = c</math>, wobii a, b, und c bekannt sin und x die Umbekannti isch, mit geometrische Methode glööst.<ref name="Boyer1516">{{Literatur | Autor = Carl B. Boyer | Titel = A History of Mathematics | Jahr = 2010 | Verlag = Wiley, J | Ort = New York, NY | ISBN = 978-0-470-52548-7 | Seiten = 15–16 | Online = [https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics Online]}}</ref>

Erst die Alte Grieche häi sich mit dr Algebra und dr [[Geometrie|Geometrii]] as [[Wissenschaft|Wüsseschaft]] befasst. D Terme vo algebraische Gliichige stelle binene Site daar, mäistens Streckene, vo geometrische Objekt. Mit em [[Konstruktion mit Zirkel und Lineal|Konstrukzioonsverfaare mit Zirkel und Lineal]] häi si Löösige vo bestimmte algebraische Gliichige gfunde. Bi dr altgriechische Algebra het mä dorum vo geometrischer Algebra greedet, was in jüngster Zit aber umstritte isch.<ref>{{Literatur|Autor = [[Heinz-Wilhelm Alten]]|Titel = 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen|Verlag = Springer|Ort = Berlin u.&nbsp;a.|Jahr = 2003|ISBN = 3-540-43554-9|Seiten = 60}}</ref> 

Dr [[Diophantos von Alexandria|Diofantos vo Alexandria]], wo woorschinlig um s Joor 250 noch dr Zitewändi gläbt het, gältet as dr bedütendsti Algebraiker in dr Antike. Si wichdigsts Wärk, d ''[[Arithmetica]]'', het ursprünglig us drizää Büecher bestande, wo von ene säggs überlieferet sin.<ref name="Boyer198">{{Literatur | Autor = Carl B. Boyer | Titel = A History of Mathematics | Jahr = 2010 | Verlag = Wiley, J | Ort = New York, NY | ISBN = 978-0-470-52548-7 | Seiten = 198 | Online = [https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics Online]}}</ref> Er het d [[Arithmetik]] und d Algebra mit däm Wärk vo dr Geometrii glööst.<ref>{{Literatur|Autor = [[Heinz-Wilhelm Alten]]|Titel = 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen|Verlag = Springer|Ort = Berlin u.&nbsp;a.|Jahr = 2003|ISBN = 3-540-43554-9|Seiten = 57}}</ref> Andersch as zum Bischbil d Babylonier isch er an exkaten Löösige intressiert gsi.<ref name="Boyer201">{{Literatur | Autor = Carl B. Boyer | Titel = A History of Mathematics | Jahr = 2010 | Verlag = Wiley, J | Ort = New York, NY | ISBN = 978-0-470-52548-7 | Seiten = 201 | Online = [https://archive.org/details/AHistoryOfMathematics Online]}}</ref>

== Klassischi und modärni Algebra ==
Mä däilt d Algebra hüte in die klassischi und in die modärni Algebra ii. 
Methode, wo bis in s 19. Joorhundert iine entwigglet worde si, ghööre zur 'klassische Algebra'. 
In iire undersuecht mä [[Algebraische Gleichung|algebraischi Gliichige]] 
:<math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 = 0</math>,
uf d Äigeschafte vo iire [[Lösung (Mathematik)|Löösige]]. Wichdig doo isch isch dr [[Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz vo dr Algebra]], wo dr [[Gauß|Gauss]] bewiise het und wo ussäit, ass en algebraischi Gliichig vo dr Ordnig n in <math>\Complex</math> genau n Löösige het, und dr [[Satz von Abel-Ruffini|Satz vom Abel]], wo ussäit, ass es für en algebraischi Gliichig vom 5. Graad im Allgemäine käini Löösigsformle git, wo dr [[PQ-Formel|PQ-Formle]] äänele.

Um 1830 het dr [[Évariste Galois]] (1811-1832) d [[Galoistheorie|Galoistheorii]] entwigglet, wo mä as dr Aafang vo dr modärne Algebra cha aaluege. Sit denn het sich d Algebra vo dr Theorii vo de algebraische Gliichige äwägg zur [[Gruppentheorie|Grubbe-]] und [[Ringtheorie|Ringtheorii]] entwigglet.

Am Bischbil vom [[Großer Fermatscher Satz|Groosse fermatsche Satz]] gseet mä aber, ass mä die klassischi Algebra vo dr modärne nid klaar cha drenne. Dr [[Pierre de Fermat]] het scho im 17. Joorhundert d Vermuetig ufgstellt, ass die algebraischi Gliichig <math>a^n + b^n = c^n</math> mit <math>a,b,c \in \mathbb{N}</math> für <math>n>2</math> käini ganzzaaligi Löösig het. Die Art vo Frooge z stelle isch für dier klassischi Algebra und d [[Zahlentheorie|Zaaletheorii]], wo in deere Zit entstanden isch, tüpisch gsi. Aber erst 1995 höi dr [[Andrew Wiles]] und dr [[Richard Taylor (Mathematiker)|Richard Taylor]]) mit modärne Methode us dr [[Algebraische Geometrie|algebraische Geometrii]] und dr [[Algebraische Zahlentheorie|algebraische Zaaletheorii]] chönne bewiise, ass im Fermat si Vermuetig richdig isch.

== Algebra as Däilgebiet vo dr Mathematik: Begriffsbestimmig und Gliiderig ==
D Inhalt und Methode vo dr Algebra si im Lauf vo dr Gschicht so stark erwiiteret worde, ass es schwiirig worde isch, e churzi Definizioon für e Begriff z gee. In dr Liste unde nooche si e baar vo de Däilgebiet vo dr Algebra ufgfüert.

* Die [[elementare Algebra|elementari Algebra]] isch d Algebra im Sinn vo dr Schuelmathematik. Si umfasst d Rächereegle vo de natürlige, ganze, brochene und reelle Zaale, dr Umgang mit Usdrück, wo s Wariable din het, und Wääg, wie mä äifachi ''algebraischi Gliichige'' cha lööse.
* Die [[abstrakte Algebra|abstrakti Algebra]] isch e Grundlaagedisziplin vo dr modärne Mathematik. Si beschäftigt sich mit spezielle [[Algebraische Struktur|algebraische Strukture]] wie [[Gruppe (Mathematik)|Grubbe]], [[Ring (Algebra)|Ring]], [[Körper (Algebra)|Körper]] und wie die verknüpft si.
* Die [[lineare Algebra|lineari Algebra]] behandlet, wie mä [[Lineares Gleichungssystem|lineari Gliichigssüsteem]] lööst, undersuecht [[Vektorraum|Vektorrüüm]] und bestimmt [[Eigenwert|Äigewärt]]; si isch d Grundlaag für die [[analytische Geometrie|analütischi Geometrii]].
* Die multilineari Algebra undersuecht im Geegesatz zur [[Tensoranalysis]] algebraischi Äigeschafte vo [[Tensor]]e und [[Graßmann-Algebra|andere multilineare Abbildige]].
* Die [[kommutative Algebra|kommutativi Algebra]] befasst sich mit [[kommutativ]]e Ring und dene iiri [[Ideal (Mathematik)|Ideal]], [[Modul (Mathematik)|Modul]] und [[Algebra (Struktur)|Algebre]] und isch äng mit dr [[Algebraische Geometrie|algebraische Geometrii]] verzaant. 
* Die reelli Algebra undersuecht algebraischi Zaalkörper, wo uf ene en Aaordnig cha definiert wärde. 
* D [[Computer-Algebra|Kompiuter-Algebra]] beschäftigt sich mit dr sümbolische Manipulazioon vo algebraische Usdrück. E Schwerpunkt bildet s exakte Rächne mit ganze, razionale und algebraische Zaale und mit Polynom über die Zaalerüüm. Uf dr theoretische Site ghööre effiziänti [[Algorithmus|Algorithme]] drzue und d Ermiddlig vo dene iirer Komplexidäät. Uf dr braktische Site het mä e Hufe [[ComputeralgebrasystemKompiuteralgebrasüsteem]] entwigglet, wo d Manipulazioon vo algebraische Usdrück mööglig mache.
* Die [[Universelle Algebra|universelli oder allgemäini Algebra]] betrachtet ganz allgemäin algebraischi Strukture.
* Die [[algebraische Geometrie|algebraischi Geometrii]] undersuecht [[Nullstelle]] vo Süsteem vo [[Algebraische Gleichung|algebraische Gliichige]].
* Die [[algebraische Zahlentheorie|algebraischi Zaaletheorii]] undersuecht Frooge vo dr [[Zahlentheorie|Zaaletheorii]] mit Hilf vo Methode us dr Algebra.
* Die [[homologische Algebra|homologischi Algebra]] git sich mit Methode ab, wo mä ursprünglig Frooge vo dr [[Topologie (Mathematik)|Topologii]] im Raame vo dr [[Algebraische Topologie|algebraische Topologii]] uf algebraischi Sachverhalt zrugggfüert het.

== Litratuur ==
===Über d Gschicht vo dr Algebra ===
* Heinz-Wilhelm Alten et al.: ''4000&nbsp;Jahre Algebra''. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9, [[doi: 10.1007/978-3-540-85551-4]].
* {{EoM | Titel = Algebra | Autor = Yu. I. Merzlyakov & A. I. Shirshov | Url = http://eom.springer.de/A/a011340.htm}}
*Bartel Leendert van der Waerden: ''A history of Algebra'', Springer Verlag 1986.
* Bartel Leendert van der Waerden: ''Die Algebra seit Galois'', Jahresbericht DMV, Band, 68, 1966, S. 155-165 ([http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=248276 online]).
* Jacob Klein: ''Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra'' in: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung B: Studien, Band 3, Erstes Heft, Berlin 1934, S. 18-105 und Zweites Heft, Berlin 1936, p. 122-235; uusegee uf Änglisch under em Ditel: ''Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra''. Cambridge, Mass. 1968, ISBN 0-486-27289-3.

=== Leerbüecher ===
* Jörg Bewersdorff: ''Algebra für Einsteiger: von der Gleichungsauflösung zur Galoistheorie'', Vieweg+Teubner Verlag, 4. Uflaag 2009, ISBN 3-8348-0776-1, {{doi|10.1007/978-3-8348-9326-0}}.
* Siegfried Bosch: ''Algebra'', 7. Uflaag 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, {{doi|10.1007/978-3-540-92812-6}}.
* Gerd Fischer: ''Lehrbuch der Algebra''. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, {{doi|10.1007/978-3-8348-8333-9}}.
* Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen – Ringe – Körper.'' Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, {{doi|10.1007/978-3-8274-2601-7}}
* Bartel Leendert van der Waerden: ''Algebra I, II''. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, ISBN 978-3-642-63446-8, {{doi|10.1007/978-3-662-01513-1}}, {{doi|10.1007/978-3-642-58038-3}} (zuerst als [[Moderne Algebra]], 1930, 1931)
*Serge Lang ''Algebra'', 3. Uflaag, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2005, ISBN 978-0387953854

== Weblingg==

{{Wikiversity|Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)|En iifüerendi Vorlääsig über Algebra}}
{{Wikibooks|Mathematik: Algebra}}
* [https://web.archive.org/web/20111123105042/http://www.cem.uvm.edu/~cooke/history/seconded/outtakes/sec135.pdf Ancient Greek Algebra] (PDF-Datei; 26&nbsp;kB)
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/algebra/||[[Vaughan Pratt]]}}

== Fuessnoote ==
<references />
{{Übersetzungshinweis|de|Algebra|dütsch}}

{{Normdaten}}

[[Kategorie:Algebra| ]]
[[Kategorie:Mathematik]]