Quälltext vu Dreiecksungleichung aaluege

{{Titel|Dräiäcksungliichung}}
{{Dialäkt|Elsässisch|Milhüserisch|Mìlhüüserdiitsch}}

Ìn dr [[Geometrie|Geometrii]] ìsch d’ '''Dräiäcksungliichung''' a Sàtz, wo sajt, àss a [[Dreieck|Dräiäcksitta]] kìrzer odd’r so làng wia d’ Summa vu da baida àndra Sitta-n-ìsch.

D’ Dräiäcksungliichung schpììlt àui ìn àndra Tailgebiata vu dr [[Mathematik|Màthemàtik]] a wìchtiga Rolla, wia zem Biischpììl ìn dr Lineààra Àlgebra odd’r dr Funkzioonsànàlüüsa.

== Bschriiwung vu dr Ungliichung ==
=== fìr àllgmaina Dräiäcka ===
[[Datei:Dreieck.svg|rechts|Dreieck]]

Noh dr Dräiäcksungliichung ìsch ìm Dräiäck d’ Summa vu da Länga vu zwai Sitta <math>a</math> un <math>b</math> schtets mìndeschtens so grooss wia d’ Länga vu dr drìtta Sitta <math>c</math>:

:<math>c \leq a + b</math>.

Maa kààt àui sààga, dr Àbschtànd vun ''A'' uff ''B'' ìsch klainer odd’r soo grooss wia dr Àbschtànd vun ''A'' uff ''C'' un vu ''C'' uff ''B'' zamma. Aifàcher gsajt: „Dr diräkta Waag ìsch ìmmer dr kìrzescht.“

S’ Gliichhaitszaicha gìlt numma, wänn <math>a</math> un <math>b</math> Tailschträcka vun <math>c</math> sìnn – àlso wänn dr Dräiäck äntàrtet ìsch.

Waaga dr [[Symmetrie (Geometrie)|Sümmetrii]] hàt maa-n-àui <math> a \leq c + b</math>, un domìt <math>a-b\leq c</math>; maa hàt àui nàdììrlig <math>b-a\leq c</math>. Àlso ìnsgsàmt: 
:<math>\left| a-b \right|\le c\le a+b</math>.

D’ lìnka Ungliichung <math>\left| a-b \right|\le c</math> nännt maa-n-àui mànckmol ''umgekehrta Dräiäcksungliichung''.

D’ Dräiäcksungliichung düat Àbschtànds- un [[Betragsfunktion|Betrààgsfunkzioona]] kàràkterisiara. Sa wìrd àlso àls [[Axiom]] fìr àbschtràkta-n-Àbschtàndsfunkzioona ìn [[Metrischer Raum|meetrischa Ràuima]] gsätzt.

=== fìr rachtwìnkliga Dräiäcka ===
Ìsch <math>c</math> d’ Länga vu dr Hüpothenüüsa un sìnn <math>a</math> un <math>b</math> d’ Kàtheetalänga vu’ma [[Rechtwinkliges Dreieck|rachtwìnkliga Dräiäck]], soo gìlt d’ schpeziälla Dräiäcksungliichung <math>a+b \le c\sqrt{2}</math>.<ref>Roger B. Nelsen: ''Beweise ohne Worte'', diischschproochiga-n-Üssgààb vu Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berliin/Haidelbäärch 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, S. 18</ref><ref>[https://cms.math.ca/wp-content/uploads/2019/07/exam1969.pdf Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3], veräffentligt vu dr Canadian Mathematical Society</ref>
<gallery mode="packed" heights="200">
Rechtwinklige Dreiecksungleichung 1.svg|wia dr Fàll vu dr Ungliichhait üsssììht
Rechtwinklige Dreiecksungleichung 2.svg|wia dr Fàll vu dr Gliichhait üsssììht
</gallery>

=== fìr reälla Zààhla ===
Fìr [[reelle Zahl|reälla Zààhla]] <math>a</math> un <math>b</math> gìlt: <math>|a+b| \leq |a| + |b|.</math>

Bewiis: Säjga <math>a</math> un <math>b</math> reälla Zààhla. Äntwaader ’s ìsch <math>a+b\geq 0</math> odd’r ’s ìsch <math>a+b< 0</math>. Fìr dr Fàll <math>a+b\geq 0</math> gìlt <math>|a+b|=a+b</math>, un d’ Summa <math>a+b</math> làsst sìch waaga <math>a\leq |a|</math> un <math>b\leq |b|</math> nach oben àbschätza dur <math>a+b\leq |a|+|b|</math>. Ìnsgsàmt hàt maa somìt <math>|a+b| \leq |a| + |b|</math>. Fìr dr Fàll <math>a+b< 0</math> gìlt <math>|a+b|=-(a+b)=-a-b</math>, un <math>-a-b</math> làsst sìch waaga <math>-a\leq |a|</math> un <math>-b\leq |b|</math> eewafàlls dur <math>|a|+|b|</math> nach oben àbschätza, so dàss àui ìn dam Fàll <math>|a+b| \leq |a| + |b|</math>.

==== d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung ====
Wia biim Dräiäck kààt maa-n-àui a ''umgekehrta Dräiäcksungliichung'' harlaita

Uffgrund dr Dräiäcksungliichung gìlt <math>|a+b|-|b| \le |a|.</math> Wänn maa <math>a := x +y,\ b:= -y</math> iisätzt, nooh hàt maa
:<math>|x|-|y| \le |x+y|.</math>
Wänn maa schtàttdässa <math>b:= -x</math> sätzt, nooh hàt maa
:<math>|y|-|x| \le |x+y|,</math>
zamma àlso (dänn fìr beliabiga reälla Zààhla <math>u</math> und <math>c</math> mìt <math>u \leq c</math> un <math>-u \leq c</math> gìt àui <math>|u| \le c</math>)
:<math>\Big||x|-|y|\Big| \le |x+y| \le |x|+|y|.</math>

Wänn maa <math>y</math> dur <math>-y</math> ärsätzt, noh ärhàlt maa-n-àui
: <math>\Big||x|-|y|\Big| \le |x-y| \le |x|+|y|.</math>

Ìnsgsàmt àlso
: <math>\Big| |x|-|y|\Big| \le |x \pm y| \le |x|+|y|</math> fìr àlla <math>x,\,y\in\R.</math>

=== fìr kùmpläxa Zààhla ===
Fìr [[komplexe Zahlen|kùmpläxa Zààhla]] gìlt:

: <math>|z_1{}+z_2| \le |z_1|{+}|z_2|.</math>

Bewiis:
: Wial àlla Sitta nìtnegàtiiv sìnn, ìsch s’ Kwàdriara-n-a Äkwiwàlanzformung un maa ärhàlt
::<math>
z_1\overline{z_1}{+}z_1\overline{z_2}{+}{\underbrace{\overline{z_1}z_2}_{=\overline{z_1\overline{z_2}}}}{+}z_2\overline{z_2}\ \le\ z_1\overline{z_1}{+}2{\underbrace{|z_1 z_2|}_{=|z_1\overline{z_2}|}}{+}z_2\overline{z_2},
</math>
: dr Ìwwerschtrìch bediitet doo a [[Konjugation (Mathematik)|kùmpläxa Konjugàzioon]]. Wänn maa gliicha-Üssdrìck schtriicht un <math>z\mathrel{:=\,} z_1\overline{z_2}</math> sätzt, soo blibbt 
::<math>z{+}\bar z \le 2{|z|}</math>
: z’ zaiga. Mìt <math>z = u{+}iv</math> ärhàlt maa
::<math>(u{+}iv){+}(u{-}iv) = 2u \le 2\sqrt{u^2{+}v^2}</math>
: bzw.
::<math>|u| \le \sqrt{u^2{+}v^2},</math>
: wàs waaga <math>0 \le v^2\ </math> un dr [[Reelle monotone Funktion|Monotonii]] vu dr (reälla) Wurzelfunkzioon ìmmer ärfìllt ìsch.

Wia biim reälla Fààl folgt üss dara Ungliichung àui 
:<math>\Big| |z_1|{-}|z_2|\Big| \le |z_1{\pm}z_2| \le |z_1|{+}|z_2|</math> fìr àlla <math>z_1,\,z_2\in\mathbb{C}.</math>

=== vu Betrààgsfunkzioona fìr Käärwer {{Anker|verschärfte Dreiecksungleichung}} ===
Zamma mìt àndra Forderunga wìrd a Betrààgsfunkzioon fìr a [[Körper (Algebra)|Käärwer]] <math>K</math> àui dur d’
{|
|-
| Dräiäcksungliichung
| <math>\varphi(x + y) \leq \varphi(x) + \varphi(y)</math>
|}
gsätzt. Sa müass fìr àlla <math>x,y\in K</math> galta. Wänn àlla Forderunga ärfìllt sìnn, noh ìsch <math>\varphi</math> a Betrààgsfunkzioon fìr dr Käärwer <math>K.</math>

Ìsch <math>\varphi(n) \leq 1</math> fìr àlla gànza <math>n:=\underbrace {1+\dots+1}_{n \text{-mol}}</math>, nooh nännt maa dr Betrààg ''nìtàrkimeedisch'', sunscht ''àrkimeedisch''.

Bii nìtàrkimeedischa Betraag gìlt d’
{|
|-
| verschärfta Dräiäcksungliichung
| <math>\varphi(x + y)\leq\max(\varphi(x),\varphi(y)).</math>
|}
Sa màcht dr Betrààg züa ainem [[Ultrametrik|''ultràmeetrischa'']]. Umgekehrt ìsch jeeder ultràmeetrischa Betrààg nìtàrkimeedisch.

=== fìr Summa un Ìntegrààla ===
Wämm’r mehrmols d’ Dräiäcksungliichung bzw. [[vollständige Induktion|vollschtandiga Ìndukzioon]] ààwanda düat, nooh ärhàlt maa
:<math>\left|\sum_{i=1}^n x_i\right|  \leq \sum_{i=1}^n \left| x_i\right|</math>
fìr reälla odd’r kùumpläxa Zààhla <math>x_i\;</math>. Dia Ungliichung gìlt àui, wänn maa Ìntegrààla ààschtälla vu Summa betràchtet:

Ìsch <math>f \colon [a,b]\to\mathbb{R}</math> a [[Riemann-Integral|Riemann-ìntegriarbààra]] Funkzioon, nooh gìlt

: <math>\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|\le \int_a^b |f(x)|\, dx</math>.<ref>Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis, Teil 1.'' 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz '''85.1'''</ref>

Dàs gìlt àui fìr [[komplexwertige Funktion|kùmpläxwaartiga Fukzioona]] <math>f \colon [a,b]\to\mathbb{C}</math>.<ref>Walter Rudin: ''Real and Complex Analysis''. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem '''1.33'''</ref> Nooh gìtt’s naamlig a kùmpläxa Zààhl <math>\alpha</math>, so dàss
: <math>\alpha\int_a^b f(x)\, dx=\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|</math> und <math>|\alpha|=1\;</math>.

Wial
:<math>\left|\int_a^b f(x)\, dx\right|=\alpha\int_a^b f(x)\, dx=\int_a^b \alpha\, f(x)\, dx=\int_a^b \operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx+i\,\int_a^b \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math>

reäll ìsch, müass <math>\int_a^b \operatorname{Im}(\alpha f(x))\,dx</math> gliich Null sìì. Üsserdam gìlt
: <math>\operatorname{Re}(\alpha f(x)) \leq |\alpha f(x)| = |f(x)|</math>,
ìnsgsàmt àlso
:<math>\left|\int_a^b f(x)\, dx\right| =\int_a^b\operatorname{Re}(\alpha f(x))\, dx \le \int_a^b|f(x)|\, dx</math>.

=== fìr Wektoora ===
Fìr [[Vektor|Wektoora]] gìlt:

: <math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|</math>.

D’ Gìltikait vu dara Beziihung sììht maa dur Quadrieren
: <math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left\langle \vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{b}\right\rangle = \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left\langle\vec{a},\vec{b}\right\rangle+\left|\vec{b} \right|^2 \le  \left| \vec{a} \right|^2+ 2 \left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|+\left|\vec{b} \right|^2 = \left(\left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|\right)^2</math>,

unt’r Ààwandung vu dr [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung|Cauchy-Schwarzscha Ungliichung]]:

: <math>\langle \vec{a}, \vec{b}\rangle \le \left| \vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|</math>.

Àui doo folgt wia-n-ìm reälla Fàll

: <math>\Big|\left| \vec{a} \right| - \left| \vec{b} \right| \,\,\Big|\le\left| \vec{a} \pm \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|</math>
so wia
:<math>\left|\sum_{i=1}^{n} \vec a_i\right| \leq \sum_{i=1}^{n}\left|\vec a_i\right|. </math>

=== fìr Kugeldräiäcka ===
[[Datei:Sws sphaerisch.PNG|mini|zwai Kugeldräiäcka]]

Ìn [[Kugeldreieck|Kugeldräiäcka]] gìlt d’ Dräiäcksungliichung ìm Àllgmaina nìt. Sa gìlt jedoch, wänn ma sìch uff eulerscha Dräiäcka beschrànkt, àlso salla, ìn dana jeeda Sitta kìrzer àls a hàlwer Groosskrais ìsch.

Ìn dr Àbbìldung doo dràà gìlt zwààr
: <math>\left|a - b\right| \le c_1 \le a + b,</math>
jedoch ìsch <math>c_2 > a+b</math>.

=== fìr nomiarta Ràuima ===
Ìn’ma [[Normierter Raum|normiarta Ràuim]] <math>\left(X,\|{\cdot}\|\right)</math> wìrd d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form
:<math>\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|</math>
àls aina vu da Aigaschàfta gfordert, wo d’ [[Norm (Mathematik)|Norm]] fìr àlla <math>x,y\in X\;</math> müass ärfìlla. Bsunderscht folgt àui doo
:<math>\Big|\|x\|-\|y\|\Big| \le \|x\pm y\|\leq \|x\|+\|y\|</math>
so wia
:<math>\left\|\sum_{i=1}^n x_i\right\| \leq \sum_{i=1}^{n}\|x_i\|</math> fìr àlla <math>x_i\in X\;</math>.

Ìm Schpeziààlfàll vu da [[Lp-Raum|L<sup>''p''</sup>-Ràuima]] wìrd d’ Dräiäcksungliichung [[Minkowski-Ungleichung|Minkowski-Ungliichung]] gnännt un mìttels dr [[Höldersche Ungleichung|Hölderscha Ungliichung]] bewììsa.

=== fìr meetrischa Ràuima ===
Ìn’ma [[Metrischer Raum|meetrischa Ràuim]] <math>\left(X,d\right)</math> wìrd àls [[Axiom]] fìr d’ àbschtàkta-n-Àbschtàndsfunkzioon verlàngt, àss d’ Dräiäcksungliichung ìn dr Form
:<math>d(x,y)\leq d(x,z) + d (z,y)</math>
fìr àlla <math>x,y,z \in X</math> ärfìllt ìsch. Ìn jeedem meetrischa Ràuim gìlt àlso per Definizioon d’ Dräiungsungliichung. Drüss làss sìch àblaita, àss ìn’ma meetrischa Ràuim àui d’ umgekehrta Dräiäcksungliichung
:<math>\left| d(x,z) - d (z,y)\right|\leq d(x,y)</math>
fìr àlla <math>x,y,z \in X</math> gìlt. Üsserdam gìlt fìr beliabiga <math>x_i \in X\;</math> d’ Ungliichung
:<math>d(x_0,x_n)\leq \sum_{i=1}^n d(x_{i-1},x_i)</math>.

== Lüag àui ==
* [[Ungleichungen in Vierecken|d’ Ungliichunga ìn Viaräcka]]

== Lìteràtüür ==
* {{Literatur|Sprache=de|Online=https://brockhaus.de/ecs/enzy/article/dreiecksungleichung|Abruf=2023-10-08|Titel=Dreiecksungleichung|Sammelwerk=[[Brockhaus Enzyklopädie|Brockhüüs Enzüklopädii]]|Verlag=Brockhüüs}}
* {{Literatur|Sprache=en-GB|Titel=Triangle inequality|Sammelwerk=[[Encyclopædia Britannica]]|Verlag=Encyclopædia Britannica, Inc.|Online=https://www.britannica.com/science/triangle-inequality|Abruf=2023-10-07}}
* {{Literatur|Sprache=en-US|Titel=Triangle inequality|Sammelwerk=Dictionary of Algorithms and Data Structures|Hrsg=Paul E. Black|Verlag=National Institue of Standards and Technology|Jahr=2004|Abruf=2023-10-07|Online=https://www.nist.gov/dads/HTML/trianglnqlty.html}}

== Weblìnks ==
{{commonscat|Triangle inequality|Dräiäcksungliichung}}
*{{MathWorld |id=TriangleInequality |title=Triangle inequality}}
*{{PlanetMath |id=TriangleInequality |title=Triangle inequality |author=}}

== Ainzelnoohwiisa ==
<references responsive />

{{Übersetzungshinweis|de|Dreiecksungleichung|hochdütsch|230667030}}

[[Kategorie:Dreieggsgeometrii]]
[[Kategorie:Algebra]]