Quälltext vu Lemma von Nakayama aaluege

Des Lemma vom Nakayama isch äbbäs Lemma, wo in der kommutative Algebra benutzt wird. S hätt Lütt wo s Lemma au Krull–Azumaya-Satz nänne duet. Es säit us:

: Wenn ''M'' en ändlig erzügte nittriviale ''R''-[[Modul (Mathematik)|Modul]] isch und <math>\mathfrak{a}</math> en [[Ideal (Mathematik)|Ideal]], wo im [[Jacobson-Radikal]] vo ''R'' lit, denn isch <math>\mathfrak{a}M\neq M</math>.

== Bewiis ==
Es sig <math>\{u_1, \ldots, u_n\}</math> e minimals Erzüügendesystem vo ''M''. Mr näme <math>\mathfrak{a}M=M</math> aa.

Wäge <math>u_n\in\mathfrak{a}M</math> gäb s denn e Gliichig vo dr Form <math>u_n = \sum_{i=1}^n a_i u_i</math> mit <math>a_i\in\mathfrak{a}</math>, also <math>(1-a_n)u_n = \sum_{i=1}^{n-1} a_i u_i</math>.

Wil <math>a_n</math> im Jacobson-Radikal lit, isch dr Faktor <math>1-a_n</math> en Eiheit, s Erzüügendesystem also nit minimal.

== Folgerige ==
* Isch ''M'' en ändlig erzügte ''R''-Modul, ''N'' en Undermodul und <math>\mathfrak{a}\subset J(R)</math> en Ideal, so gältet
:<math>M=\mathfrak{a}M+N\ \Rightarrow\ M = N</math>.

[[Kategorie:Algebra]]