Funktion (Mathematik)

In dr Mathematik isch e Funkzion oder Abbildig e Beziejig (Relazion) zwüsche zwäi Mängene, wo jedem Elimänt vo dr äinte Mängi (Funkzionsargumänt, unabhängigi Wariable, $x$-Wärt) genau äi Elimänt vo dr andere Mängi (Funkzionswärt, abhängigi Wariable, $y$-Wärt) zueordnet. Dr Funkzionsbegriff wird in dr Litratuur uf verschiideni Arte definiert, aber generell goot mä vo dr Vorstellig us, ass Funkzione mathematische Objekt mathematischi Objekt zueordne, zum Bischbil jedere reelle Zaal deren iir Kwadrat. S Konzept vo dr Funkzion oder Abbildig het in dr modärne Mathematik e zentrali Stellig; din enthalte si as Spezialfäll under anderem parametrischi Kurve, Skalarfälder, Wektorfälder, Dransformazione, Operazione, Operatore und e Hufe mee.

Definizion

D Grundidee

E Funkzion $f$ ordnet jedem Elimänt $x$ von er Definizionsmängi $D$ genau äi Elimänt $y$ von ere Ziilmängi $Z$ zue.

Schriibwiis:

$f:D\to Z,x\mapsto y.$

Für s Elimänt vo dr Ziilmängi, wo im Elimänt $x\in D$ zuegordnet isch, schribt mä im Allgemäine $f(x)$.

• D Umcheerig gältet nit: En Elimänt vo dr Ziilmängi muess (wenn überhaupt) nit nume äim äinzige Elimänt vo dr Definizionsmängi zuegordnet worde si.
• Vilmol wird anstatt von ere Definizionsmängi zerst e Kwellemängi $Q$ vorgee. Wenn $f$ as Rächevorschrift gee isch, bechunnt mä d Definizionsmängi $D_f$, wemm mä vo $Q$ alli die Elimänt usschliesst, wo $f$ für sä nit definiert isch.

Die mängitheoretischi Definizion

Mängitheoretisch isch e Funkzion e spezielli Relazion:

E Funkzion vo dr Mängi $D$ in d Mängi $Z$ isch e Mängi $f$ mit dene Äigeschafte:

• $f$ isch e Däilmängi vom kartesische Brodukt $D\times Z$ vo $D$ und $Z$, d. h. $f$ isch e Relazion.
• Für jedes Elimänt $x$ us $D$ existiert (mindestens) äi Elimänt $y$ in $Z$, so dass s gordnete Baar $(x,y)$ en Elimänt vo dr Relazion $f$ isch. $f$ isch also linkstotal.
• Zu jedem Elimänt $x$ vo $D$ git s höggstens äi Elimänt $y$ vo $Z$, so dass s Baar $(x,y)$ in $f$ lit. $f$ isch eso rächtsäidütig oder funkzional.

Die letschte bäide Äigeschafte löön sich au eso zämmefasse:

• Zu jedem Elimänt $x$ vo $D$ git s genau äi Elimänt $y$ vo $Z$, so dass s Baar $(x,y)$ en Elimänt vo dr Relazion $f$ isch.

Vilmol wett mä aber au d Ziilmängi explizit zum ene Däil vo dr Funkzion mache, zum Bischbil zum chönne Ussaage mache zur Surjektiwidäät:

E Baar $f=(G_f,Z)$, wo us ere Relazion $G_f$ und ere Mängi $Z$ bestoot, häisst Funkzion vo dr Mängi $D$ noch $Z$, wenn gilt: $G_f\subseteq D\times Z$ und zu jedem Elimänt $x$ vo $D$ git s genau äi Elimänt $y$ vo $Z$ (gschriibe $f(x)=y$), so dass s Baar $(x,y)$ en Elimänt vo $G_f$ isch.

$G_f$ wird au as dr Graaf vo dr Funkzion $f$ bezäichnet. D Definizionsmängi $D$ vo dr Funkzion isch doo dur iire Graaf äidütig bestimmt und bestoot us de erste Komponänte vo alle Elimänt vom Graaf. Wenn d Graafe vo zwäi Funkzione gliich si, so säit mä au, si sige im Wääsentlige gliich.

Mä cha aber au no d Definizionsmängi drzuenee und e Funkzion entsprächend as e Dripel $f=(G_f,D,Z)$, $G_f$ wie oobe, definiere.