Lichtkegel

In dr relativistische Füsik bezäichnet dr Liechtchäigel vom ene Eräignis $E$ d Mängi vo alle Eräigniss $E^{\prime }$, wo sich mit dr Liechtgschwindikäit $c$ uf $E$ uswirke oder vo $E$ mit Liechtgschwindigkäit chönne beiiflusst wärde.

Dr Liechtchäigel in ere Ruumzit mit zwäi Ruumdimensione, dr Vorwärtschäigel isch in dr positive Zitrichdig.
Dr Beobachder vom ene Ereignis E befindet sich im Schnittpunkt vom Vergangehäits- und vom Zuekumfts-Chäigel (Gegewart).

Dr Liechtchäigel isch e Dobbelchäigel im vierdimensionale Minkowski-Ruum. Er bestoot us

• em Ruggwärtsliechtchäigel, wo us Eräigniss $E^{\prime }$ bestoot, wo vor $E$ stattgfunde häi (Vergangenhäit, $t^{\prime }<t$) und mit Liechtgschwindigkäit Uswirkige uf $E$ häi chönne ha, und us
• em Vorwärtsliechtchäigel, wo us Eräigniss $E^{\prime }$ bestoot, wo spööter as $E$ stattfinde (Zuekumft, $t^{\prime }>t$) und vo $E$ mit Liechtgschwindigkäit chönne verursacht worde sii.

Definizion

$(t,x,y,z)$ sige d Zit- und Ortskoordinate vo $E$
$(t^{\prime },x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ d Koordinate vo $E^{\prime }$ und
$(t^{\prime }-t,x^{\prime }-x,y^{\prime }-y,z^{\prime }-z)$ d Komponänte vom Differänzwektor $E^{\prime }-E.$

Wenn dr Differänzwektor liechtartig isch:

$c^2(t^{\prime }-t{)}^2-(x^{\prime }-x{)}^2-(y^{\prime }-y{)}^2-(z^{\prime }-z{)}^2=0$

$\iff c^2={\left(\frac{x^{\prime }-x}{t^{\prime }-t}\right)}^2+{\left(\frac{y^{\prime }-y}{t^{\prime }-t}\right)}^2+{\left(\frac{z^{\prime }-z}{t^{\prime }-t}\right)}^2$

$\iff v_x^2+v_y^2+v_z^2=c^2,$

denn lit $E^{\prime }$ in dr spezielle Relatiwidäätstheorii uf em Liechtchäigel vo $E.$ Grad d Eräigniss uf em Ruggwärts- bzw. Vergangehäits-Liechtchäigel si aktuell für e Beobachder sichtbar, wo sich in $E$ befindet (wemm mä mä d Expansion vom Uniwersum nid duet berücksichdige).

Isch dr Differänzwektor zitartig:

$c^2(t^{\prime }-t{)}^2-(x^{\prime }-x{)}^2-(y^{\prime }-y{)}^2-(z^{\prime }-z{)}^2>0$

$\iff v_x^2+v_y^2+v_z^2<c^2,$

so lit $E^{\prime }$ im Innere vom Ruggwärts- oder Vorwärtsliechtchäigel vo $E$, je nochdäm öb es vor oder noch $E$ stattgfunde het. Denn cha s sich bi $E^{\prime }$ um d Ursach oder um d Uswirkig vo $E$ handle, wo sich langsamer as Liecht uswirkt. Eräigniss im Ruggwärts- bzw. Vergangehäits-Liechtchäigel dinne si früener für e Beobachder sichtbar gsi, wo sich am gliiche Blatz im Ruum befunde het wie $E$ (wemm mä mä d Expansion vom Uniwersum nid duet berücksichdige).

Isch dr Differänzwektor ruumartig:

$c^2(t^{\prime }-t{)}^2-(x^{\prime }-x{)}^2-(y^{\prime }-y{)}^2-(z^{\prime }-z{)}^2<0$

$\iff v_x^2+v_y^2+v_z^2>c^2,$

so lit $E^{\prime }$ dusse vom Ruggwärts- oder Vorwärtsliechtchäigel. Bi dene Eräigniss chan es sich nit um Ursache und Wirkig handle, wil denn d Ursach si Wirkig mit Überliechtgschwindikäit hätt müesse haa. Eräigniss dusse vom Ruggwärts- bzw. Vergangehäits-Liechtchäigel und vor $E$ sin für e Beobachder, wo sich in $E$ befindet, nit oder nonig sichtbar (Eräignishorizont (wemm mä mä d Expansion vom Uniwersum nid duet berücksichdige).

Folge für d Löösig vo relativistische Differenzialgliichige

D Löösig vo dr inhomogene Klein-Gordon-Gliichig, gültig für Bosone, hängt für s Eräignis $E$ nume vo de früenere Aafangsbedingige ab und vo dr Inhomogenidäät uf em Ruggwärtsliechtchäigel vo $E$ und in sim Innere.

D Löösig vo dr homogene Klein-Gordon-Gliichig (d Masse verschwindet, entspricht dr Wällegliichig) hängt nume vo de Aafangsbedingige und dr Inhomogenidäät uf em Ruggwärtsliechtchäigel vo $E$ ab, aber nüme vo dr Inhomogenidäät in sim Innere. D Aafangsbedingigen und d Inhomogenidäät häi in däm Fall nume mit Liechtgschwindigkäit e Wirkig.

D Folge für d Löösig vo andere grundlegende relativistische Gliichige (z. B. dr Dirac-Gliichig, wo für Fermione gältet) si entsprächend.

Litratuur

• Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik. Band 2. Zweite Auflage. Springer Verlag, Berlin 1968 (Heidelberger Taschenbücher 31, Vorlage:ISSN).

Weblingg

• Norbert Dragon, Geometrie der Relativitätstheorie (PDF; 2,5 MB)