Basler Problem

S Baasler Brobleem isch e mathematischs Brobleem, wo zimlig lang unglööst bliiben isch und wo sich am Aafang vor allem Baasler Mathematiker drmit befasst häi. Es isch drbii um d Froog vo dr dr Summe vo de reziproke Kwadraatzaale gange, also um ä Wärt vo dr Räije

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots .$

1735 het dr Leonhard Euler das Brobleem glööst, und dr Wärt vo dr Räije gfunde: $\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,644934$ .

Gschicht

1644 het sich dr Italiäner Pietro Mengoli gfrogt, öb die Summe wurd konvergiere, und wenn si wurd, was iire Wärt wurd sig. Er het aber kä Antwort uf die Froog gfunde. Bald druf het dr Baasler Mathematiker Jakob I Bernoulli vom Brobleem ghöört, het aber au kä Löösig gfunde (1689). No mee Mathematiker häi sich ooni Erfolg mit en Brobleem befasst. Erst 1726 het dr Baasler Mathematiker Leonhard Euler, won e Schüeler vom Brueder vom Jakob Bernoulli, vom Johann, gsi isch sich mit em Brobleem afo befasse. 1735 fand er d Löösig gfunde und si in sim Wärk "De Summis Serierum Reciprocarum" veröffentligt.

Im Euler si Löösig

Für si ursprüngligi Löösig het dr Euler d Tailor-Räije vo dr Kardinalsinusfunkzioon aagluegt, also

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x)=\frac{\sin (x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+-\cdots$

und het sä mit dr Broduktdaarstellig vo sällere Funkzioon gliichgsetzt.

$\frac{\sin (x)}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})=(1-\frac{x^2}{{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{4{\pi }^2})(1-\frac{x^2}{9{\pi }^2})\cdots =1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+-\cdots$

Bim (hüpothetische) Usmultipliziere vom unändlige Brodukt het er nume die Brodukt aagluegt, wo $1$ und $x^2$ enthalte häi. Wil s käi anderi Mögligkäit git, ass e Term e kwadratischs Gliid cha enthalte, müesse die bäide kwadratische Term uf de bäide Site gliich si.

$-x^2(\frac{1}{{\pi }^2}+\frac{1}{2^2{\pi }^2}+\frac{1}{3^2{\pi }^2}+\frac{1}{4^2{\pi }^2}+\cdots )=-\frac{x^2}{3!}=-\frac{x^2}{6}$

und eso het dr Euler si Löösig gfunde:

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1,644934\dots$

Dr Euler het s Brobleem no allgemäiner gmacht. Er het e Funkzioon undersuecht, wo män ere spööter die riemannischi ζ-Funkzioon gsäit het

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$

und het en allgemäine gschlossnige Usdruck für alli gradzaalige natürlige Argumänt $s=2k$ gfunde, nämlig

$\zeta (2k)=(-1{)}^{k-1}\frac{(2\pi {)}^{2k}}{2(2k)!}{B}_{2k},$

drbii stellt $B_{2k}$ d $2k$-te [[Bernoulli-Zahl}Bernulli-Zaal]] dar. En allgemäini Formle für Argumänt vo ungrade natürlige Zaale $s$ (lueg z. B. Apéry-Konstante) isch immer no umbekannt.

Weblingg

• Leonhard Euler: De Summis Serierum Reciprocarum (latiinisch, änglisch)
• Evaluating ζ(2) – 14 Bewiis für e Wärt vo ζ(2) zämmegestellt vom Robin Chapman uf ere Website vo dr Uni vo Exeter (pdf, engl.; 181 kB)

Litratur

• C. Edward Sandifer: Euler's solution of the Basel problem—the longer story. Euler at 300, 105–117, MAA Spectrum, Math. Assoc. America, Washington, DC, 2007.
• Downey, Lawrence / Ong, Boon W. / Sellers, James A.: Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. The College Mathematics Journal. Vol. 39, No. 5, November 2008. P. 391–394