Division (Mathematik)

$20:4=5$

D Division isch eini vo de vier Grundrächenarte in dr Arithmetik. Si isch d Unchehroperation vo dr Multiplikation. D Division wird umgangssprochlig au as Deile bezeichnet. Die schriftligi Division isch d Methode vom Deile mit Bleistift und Papier, wo in dr Schuel glehrt wird.

Definition

In de Körper vo de rationale, reelle und komplexe Zahle gältet:

Für jedi Zahl $a$ und für jedi, vo null verschiideni, Zahl $b$ git s genau ei Zahl $x$, wo die folgendi Gliichig erfüllt:

$b\cdot x=a$   (wird «b mol x gliich a» gläse).

D Umchehrig vo dr Multiplikation zur Bestimmig vo $x$ heisst Division. Mä dividiert («deilt») $a$ dur $b$ und cha eso $x$ bestimme:

$x=a:b$   (wird «x gliich a deilt dur b» gläse).

Begriff

D Zahl $a$, wo deilt wird, heisst «Dividend» (lat. wörtlig das wo z deile isch).

D Zahl $b$, wo drdur deilt wird, heisst «Divisor» (dr Deiler).

Dr Term $a:b$ heisst «Quotient».

S Ergäbnis vo dr Division heisst «Wärt vom Quotient».

Für d Division gältet weder s Kommutativgsetz no s Assoziativgsetz.

Für $x=a:b$ gältet usserdäm $x=\frac{1}{b}\cdot a$.

D Umchehrig vo dr Multiplikation zur Bestimmig vo $x$ loot sich also au mit dr Multiplikation vo dr Umchehrig (Gegedeil) vom 1 Faktor bestimme.

Division dur null

Dr Divisor muess ungliich null si, wil sust dr Quotient $a:b$ as Lösig vo dr Gliichig $b\cdot x=a$ für $b=0$ nid eidütig definiert isch:

Gäb s zun ere Zahl $a\ne 0$ e Zahl $x=\frac{a}{0}$, so wär die Zahl Lösig vo dr Gliichig $a=x\cdot 0=0$, womit sich e Widerspruch zur Vorussetzig $a\ne 0$ wurd ergee, d. h. es git kei Lösig für $x$.

Wär d Division vo null dur null definiert, gäb s also e Zahl $x=\frac{0}{0}$, so wär die Zahl e (eidütigi) Lösig vo dr Gliichig $x\cdot 0=0$, also zun ere Gliichig, wo für jedes $x\in ℝ$ richtig isch. Dodrmit isch aber dr Bruch $\frac{0}{0}$ nid eidütig definiert und isch dorum unbestimmt.

Wil also dr Quotient $a:0$ äntwäder gar keini (für $a\ne 0$) oder meh as ei Lösig (für $a=0$) het, sait mä allgemein:

«D Division dur null isch nid definiert.»