Beweis (Mathematik)

E schematische Ufbau vom ene Bewiis

E Bewiis isch in dr Mathematik, wenn us ere Mängi vo Axiom, wo als woor vorusgsetzt wärde, und andere Ussaage, wo scho bewiise si, ooni Fehler häärgläitet wird, ass en Ussaag richdig oder unrichdig isch. Zum e klaari Underschäidig zwüschen em Bewiis und em gültige Schluss z mache, reedet mä au vom axiomatische Bewiis.

Umfangriicheri Bewiis vo mathematische Setz wärde mäistens in meereri chliini Däilbewiis ufdäilt.

In dr Bewiistheorii, won e Däilgebiet vo dr mathematische Logik isch, wärde Bewiis formal as Abläitige ufgfasst und sälber as mathematischi Objekt aagluegt, zum öbbe d Bewiisbarkäit oder d Umbewiisbarkäit vo Setz us Axiom, wo gee sin, sälber z bewiise.

Konstruktivi und nit-konstruktivi Bewiis

Bim ene konstruktive Existänzbewiis wird äntwääder d Löösig, wo d Existänz von ere söll bewiise wärde, sälber gnennt oder e Verfaare aagee, wo zur Löösig füert, das häisst, es wird e Löösig konstruiert.

Bim ene nit-konstruktive Bewiis wird anhand vo Äigeschafte uf d Existänz von ere Löösig gschlosse. Mänggisch wird doo indiräkt d Aanaam, es gäb käi Löösig, zum Widerspruch gfüert, und us däm folgt, ass es e Löösig git. Us sonige Bewiis cha mä nit leere, wie mä d Löösig findet.

Bischbil

Behauptig: D Funkzioon $f$ mit $f(x)=2x-1$ het im Interwall $[0,1]$ e Nullstell $x_0$.

Konstruktive Bewiis: Sig $x_0=0,5$. Denn gältet $f(x_0)=2\cdot x_0-1=2\cdot 0,5-1=1-1=0$. Färner lit $x_0=0,5$ im Interwall $[0,1]$. Eso isch d Behauptig bewiise. D Löösig, das isch d Nullstell, isch sogar mit $x_0=0,5$ aagee.

Nit-konstruktive Bewiis: $f$ isch steetig. Färner isch $f(0)=-1<0$ und $f(1)=1>0$. Noch em Zwüschewärtsatz für steetigi Funkzioone folgt d Behauptig. Über e Wärt vo dr Nullstell liiferet dä Bewiis käi Informazioon.

Bewiismethode

Es git verschidnigi Methode, zum öbbis z bewiise. Bim indiräkte Bewiis (Reductio ad absurdum, Widerspruchsbewiis) zäigt mä, ass e Widerspruch entstoot, wenn d Behauptig, wo mä wil bewiise, falsch weer. Bim Bewiis dur vollständigi Indukzioon foot mä mit ere Ussaag aa, wo bewiisenermaasse woor isch, und baut uf dere mit logisch richdige Schritt dr Bewiis uf. Bim Bewiis dur vollständigi Fallunderschäidig luegt mä alli Fäll aa, wo chönne iidräte, und bewiist jeede äinzeln. Witeri Bewiismethode si s Diagonalverfaare, s Schublaadebrinzip und die Transfiniti Indukzioon.

Litratuur

• Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Das BUCH der Beweise. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-40185-7

Weblingg

• Die Zeit: Obst in Formeln (zur Broblematik vom ene Bewiis mit Kompiuter)
• Zämmefassig vo de Bewiismethode für Schüeler
• Landesbildungsserver BW: Dünamischi Arbetsbletter zu geometrische Bewiis