Lorentzsche Mannigfaltigkeit

E Lorentz-Mannigfaltigkäit (noch em niiderländische Mathematiker und Füsiker Hendrik Antoon Lorentz) isch e Mannigfaltikäit mit er Lorentzmetrik. Si isch e Spezialfall von ere pseudo-riemannsche Mannigfaltigkäit mit dr Metrik-Signatur (-,+,+,+,...). Lorentz-Mannigfaltigkäite si für die allgemäini Relatiwidäätstheorii vo entschäidender Bedütig, wil dört d Ruumzit as vierdimensionali Lorentz-Mannigfaltigkäit modelliert wird.

Punktrelazione und Gliiderig vo dr Mannigfaltigkäit

Wil die lorentzschi Metrik $g{|}_p:T_{p}M\times T_{p}M\to ℝ$ im Geegesatz zur riemannsche nit positiv definit isch, dräte drei verschidnigi Arte vo Tangenzialwektore $v$ an d Mannigfaltigkäit uf:

• zitartigi Wektore mit $g(v,v)<0$,
• ruumartigi Wektore mit $g(v,v)>0$,
• liechtartigi Wektore mit $g(v,v)=0$, wo dorum au Nullwektore häisse.

Nit-ruumartigi Wektore (also sonigi mit $g(v,v)\le 0$) wärde au as kausali Wektore bezäichnet. Kurve in dr Mannigfaltigkäit wärde as zitartig, ruumartig, liechtartig oder kausal bezäichnet, wenn d Tangenzialwektore an d Kurve uf dr ganze Lengi vo dr Kurve zur entsprächende Kategorii ghöört.

Mä cha de Punktbäärli in dr Mannigfaltigkäit iiri Relazion zueordne. Wenn e zitartigi Kurve, wo stückwiis glatt isch, zwüsche de Pünkt existiert, denn lit äine vo de Pünkt in dr Zuekumft vom andere. Die zitartigi Zuekumft bzw. dr Inhalt vom Liechtchäigel vom ene Punkt $p$ isch d Mängi vo alle Pünkt $q$, wo vo $p$ us mit ere zuekumftsgrichdete, zitartige Kurve, wo stückwiis glatt isch, cha erräicht wärde. Si wird mit $I^{+}(p)$ bezäichnet. Die kausali Zuekumft $J^{+}(p)$ isch analog d Mängi vo alle Pünkt, wo mit stückwiis glatte kausale Kurve chönne erräicht wärde. Entsprächend definiert mä die zitartigi und die kausali Vergangehäit $I^{-}(p)$ und $J^{-}(p)$.

Litratuur

• John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (= Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics 202). 2nd Edition. Marcel Dekker Inc., New York NY u. a. 1996, ISBN 0-8247-9324-2.