Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit

E psöido-riemannischi Mannigfaltikäit oder semi-riemannschi Mannigfaltigkäit isch e mathematischs Objekt us dr (psöido-) riemannische Geometrii. Si isch e Verallgemäinerig vo dr riemannische Mannigfaltigkäit, wo scho früener definiert worde isch, und isch vom Albert Einstein für si allgemäini Relatiwidäätstheorii iigfüert worde. Si Naame het s Objekt aber noch em Bernhard Riemann überchoo, wo die riemannischi Geometrii begründet het. Aber au im Albert Einstein si Naame wird für e Struktur von ere Mannigfaltigkäit brucht. Die einsteinische Mannigfaltigkäite si e Spezialfall vo de psöido-riemannische.

Definizion

Mit $T_{p}M$ wird dr Tangenzialruum am ene Punkt $p$ von ere differenzierbare Mannigfaltigkäit $M$ bezäichnet. E psöido-riemannischi Mannigfaltigkäit isch e differenzierbari Mannigfaltikäit $M$ zämme mit ere Funkzion $g_p:T_{p}M\times T_{p}M\to ℝ$. Die Funkzion isch tensoriell, sümmetrisch und nit usgartet, das häisst für alli Tangenzialwektore $X,Y,Z\in T_{p}M$ und Funkzione $a,b\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$ gältet

1. $g_p(aX+bY,Z)=a(p)g_p(X,Z)+b(p)g_p(Y,Z)$ (tensoriell),
2. $g_p(X,Y)=g_p(Y,X)$ (symmetrisch),
3. es existiert kä $X\in T_{p}M$, so dass $g_p(X,Y)=0$ für alli $Y$ gältet.

Usserdäm isch $g_p$ differenzierbar abhängig vo $p$. D Funkzion $g$ isch also e differenzierbars Tensorfäld $g:TM\times TM\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$ und häisst psöido-riemannischi Metrik oder metrische Tensor.

Litratuur

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry („Geometria Riemannia“). 2. Aufl. Birkhäuser, Boston 1993, ISBN 0-8176-3490-8.
• Peter Petersen: Riemannian geometry (Graduate Texts in Mathematics; Bd. 171). 2. Aufl. Springer-Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-29403-1.
• John K. Beem, Paul E. Ehrlich, Kevin L. Easley: Global Lorentzian Geometry (Pure and Applied Mathematics; Bd. 202). 2. Aufl. Marcel Dekker Books, New York 1996, ISBN 0-8247-9324-2.