Dreieck

a àllgmain Dräiäck

Vorlage:Dialekt A Dräiäck ìsch a Vììläck un a geomeetrisch Gebìld. Ìn dr eukliidischa Geometrii ìsch’s d’ aifàchschta Figüür ìn dr Eewana, wo vu grààda Liinia begranzt wìrd. Siina Begranzungsliinia nänna m’r „Sitta“. Ìm Ìnnera vum Dräiäck schpànna sìch dräi Wìnkel uff, wo „Ìnnawìnkel“ haissa. D’ Schaitel vu dana Wìnkel nännt maa „Äckpìnkt“ vum Dräiäck. Ìn dr nìt-eukliidischa Geometrii fìnda m’r àui Dräiäcka; ìn dam Fàll mian àwwer d’ Begrazungsliinia Geodääta sìì.

Ìn dr Trigonometrii, a Tailgebiat vu dr Màthemàtik, schpììla Dräiäcka-n-a waasentliga Rolla.

d’ verschììdana Dräiäcka, wo ’s gìtt

d’ verschììdana Dräiäcka:
Vu lìnks noh rachts: schpìtzwìnklig, rachtwìnklig, schtumpfwìnklig
Vun oowa bis unta: unreegelmaasig, gliichschanklig, gliichsittig

nooh Sittalänga

• Unreegelmaasig Dräiäck
• Gliichschanklig Dräiäck
• Gliichsittig Dräiäck

nooh Wìnkel

• Schpìtzwìnklig Dräiäck
• Rachtwìnklig Dräiäck
• Schtumpfwìnklig Dräiäck

D’ Schpìtz- un schumpfwìnkliga Dräiäcka känna m’r àui unter’m Nàmma schiafwìnklig Dräiäck zammafàssa.

s’ àllgmaina Dräiäck

Formla

Màthemààtischa Formla zem àllgmaina Dräiäck
Flächa-n-ìnhàlt (lüag Sàtz vum Heron)	$A=\frac{a\cdot h_a}{2}=\frac{b\cdot h_b}{2}=\frac{c\cdot h_c}{2}$ $A=\frac{b\cdot c\cdot \sin (\alpha )}{2}=\frac{a\cdot c\cdot \sin (\beta )}{2}=\frac{a\cdot b\cdot \sin (\gamma )}{2}$
	$A=\sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)};s=\frac{U}{2}$
Umfàng	$U=a+b+c=8\cdot r\cdot \cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\cdot \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)$
Heecha üss da Sittalänga (mìttels Sàtz vum Heron)	$h_a=\frac{2\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}{a}$
	$h_b=\frac{2\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}{b}$
	$h_c=\frac{2\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}}{c}$
Heecha	$h_a=c\cdot \sin (\beta )=b\cdot \sin (\gamma )$
	$h_b=a\cdot \sin (\gamma )=c\cdot \sin (\alpha )$
	$h_c=b\cdot \sin (\alpha )=a\cdot \sin (\beta )$
Ìnkraisradiüs	$\rho =4\cdot r\cdot \sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\beta }{2}\right)\cdot \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)=\frac{2\cdot A}{U}$
Umkraisradiüs (mìttels Sinüssàtz)	$r=\frac{a}{2\cdot \sin (\alpha )}=\frac{b}{2\cdot \sin (\beta )}=\frac{c}{2\cdot \sin (\gamma )}=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot A}$
Länga vu da Wìnkelhàlwiaranda	$w_{\alpha }=\sqrt{bc(1-\frac{a^2}{{(b+c)}^2})}$
	$w_{\beta }=\sqrt{ac(1-\frac{b^2}{{(a+c)}^2})}$
	$w_{\gamma }=\sqrt{ab(1-\frac{c^2}{{(a+b)}^2})}$
Länga vu da Sittahàlwiaranda	$s_a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot b^2+2\cdot c^2-a^2}$
	$s_b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot c^2+2\cdot a^2-b^2}$
	$s_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot a^2+2\cdot b^2-c^2}$
Ìnkraismìttelpunkt$I$ (bàryzäntrischa Koordinààta)	$(a:b:c)$
Umkraismìttelpunkt$U$ (bàryzäntrischa Koordinààta)	$\begin{array}{cc}& (a^2\cdot (-a^2+b^2+c^2):\\ & b^2\cdot (a^2-b^2+c^2):\\ & c^2\cdot (a^2+b^2-c^2))\end{array}$
Heechaschnìttpunkt$H$ (bàryzäntrischa Koordinààta)	$\begin{array}{cc}& ((a^2-b^2+c^2)\cdot (a^2+b^2-c^2):\\ & (a^2+b^2-c^2)\cdot (-a^2+b^2+c^2):\\ & (-a^2+b^2+c^2)\cdot (a^2-b^2+c^2))\end{array}$
Geomeetrischer Schwaarpunkt$S$	$x_s=\frac{1}{3}\cdot (x_A+x_B+x_C)$
	$y_s=\frac{1}{3}\cdot (y_A+y_B+y_C)$

Lìteràtüür

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur

Weblìnks

• Vorlage:MathWorld
• Steve Phelps: A Tour of Triangle Geometry bii GeoGebra (änglisch)