Kosinussatz

Bezeichnungen im Dreieck

De Kosinussatz stellt i de Trigonometrii vo dr Ebeni e Beziehig zwüsched de Siite vomene Drüeck und em Kosinus vo eim vo de Winkel her. Für di drü Siite a, b und c vomene Drüeck sowie em Winkel gegenüber vo de unbekannte Siite gilted:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Folgerige

Us em Kosinussatz chammer unter anderem au de Satz vom Pythagoras forme, wenn de Winkel $\gamma =90^{\circ }$ isch, s Drüeck also rechtwinklig isch. De Kosinus vo 90° isch jo denn Null, und do drus chamer folgere: $c^2=a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot 0\to c^2=a^2+b^2$

Bispiil

Di folgende Zahle sind grobi Nöherige. Geh seg es Drüeck ABC, wo alli drü Siite vorgeh sind.

$a=5\mathrm{c}\mathrm{m}$

$b=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

$c=4,5\mathrm{c}\mathrm{m}$

Gsuecht isch de Winkel $\beta$ (Normali Bezeichnige).

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta$

$2\cdot a\cdot c\cdot \cos \beta =a^2+c^2-b^2$

$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2\cdot a\cdot c}=\frac{(5\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2+(4\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2-(4.5\mathrm{c}\mathrm{m}{)}^2}{2\cdot 5\mathrm{c}\mathrm{m}\cdot 4.5\mathrm{c}\mathrm{m}}=0,46$

$\beta =\arccos 0,46=\underset{\_}{62,5^{\circ }}$