Lemma von Nakayama

Des Lemma vom Nakayama isch äbbäs Lemma, wo in der kommutative Algebra benutzt wird. S hätt Lütt wo s Lemma au Krull–Azumaya-Satz nänne duet. Es säit us:

Wenn M en ändlig erzügte nittriviale R-Modul isch und $𝔞$ en Ideal, wo im Jacobson-Radikal vo R lit, denn isch $𝔞M\ne M$.

Bewiis

Es sig $\{u_1,\dots ,u_n\}$ e minimals Erzüügendesystem vo M. Mr näme $𝔞M=M$ aa.

Wäge $u_n\in 𝔞M$ gäb s denn e Gliichig vo dr Form $u_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{u}_i$ mit $a_i\in 𝔞$, also $(1-a_n)u_n=\sum _{i=1}^{n-1}{a}_i{u}_i$.

Wil $a_n$ im Jacobson-Radikal lit, isch dr Faktor $1-a_n$ en Eiheit, s Erzüügendesystem also nit minimal.

Folgerige

• Isch M en ändlig erzügte R-Modul, N en Undermodul und $𝔞\subset J(R)$ en Ideal, so gältet

$M=𝔞M+N\Rightarrow M=N$.