Pascalsches Dreieck

S Pascalsche Dreieck: Jede Iidrag isch d Summe vo de beide Iidreg, wo drüberstöhn

S pascalsche Dreiegg isch e geometrischi Darstellig vo de Binomialkoeffiziente $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. Si wärde im Dreiegg eso aagordnet, ass jede Iidrag d Summe vo de beide Iidreg wo drüberstöhn, isch. Das wird dur d Gliichig

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})$

beschriibe. Drbii chönne die Variable $n$ als Ziileindex und $k$ as Spaltenindex interpretiert wärde, wobii mä bi Null foot afo zelle (also die ersti Ziile isch $n=0$, die ersti Spalte $k=0$).

Wia benutzt ma des?

Nemma ma $(a\pm b{)}^2$

1. ma sucht sich die dritte Zeil beim paskalscha Dreieck raus.
2. der erste Koeffizient ischt da 1, also muss ma $1\cdot x^2\cdot y^0=x^2$ ausrechna
3. der zweite Koeffizient isch 2, also $\pm 2\cdot x^1\cdot y^1=\pm 2\cdot x\cdot y$
4. der dritte Koeffizient isch wieder 1, also $1\cdot x^0\cdot y^2=y^2$

das gibt:

$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2\cdot a\cdot b+b^2.$

Dieses Vorgehen funktioniert bei allen Gleichunga mit Hochzahla. In der vierta Zeil findet ma die Koeffizienta für $(a\pm b{)}^3$:

$(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3\cdot a^2\cdot b^1+3\cdot a^1\cdot b^2\pm b^3.$

Mä cha eso witermache, sött aber ufbasse, ass mä für s Binom $(a-b)$ immer s Minuszäiche us „$\pm$“ muess nee und dass, wäärend dr Exponänt vo $a$ in jedere Formle immer um 1 chliiner wird, dr Exponänt vo $b$ um 1 gröösser wird.

Wenn mä s Pascalsche Dreiegg uf s Binom (a - b) mit irgend eme Exponänt aawändet, wäggsle sich d Vorzäiche – und + regelmäässig ab (es stoot immer denn e Minus, wenn dr Exponänt vo b ungrad isch). Das häisst z. B.

$(a-b{)}^4=a^4-4\cdot a^3\cdot b^1+6\cdot a^2\cdot b^2-4\cdot a^1\cdot b^3+b^4.$

Litratuur

• John H. Conway und Richard K. Guy: The Book of Numbers. ISBN 0-387-97993-X

Weblingg

• Muster im Pascalschen Dreieck (änglisch)
• Das Pascalsche Dreieck