Kreis (Geometrie)

Chreis mit Mittelpunkt O, Radius R, Durchmässer D und Umfang C

Vorlage:Dialekt Dr Chreis isch e sehr wichtigi geometrischi Figur. Als Ortskurve in ere Eebeni isch er so definiert, das er alli Pünkt P enthaltet, wo vom Mittelpunkt M die konstant Entfärnig r (Radius) hei.

Algebrahischi Chreisdarstellige

In dr Algebra chöne verschiedenschti Formle brucht wärde, um e Kreis darzstelle. Do mol e chlini Uflischtig:

Vektorielli Gliichig

Dur d Definition vom konstante Abstand zum e Punkt M isch ganz eifach folgendi Glichig z begründe.

$\overline{MP}=r$

Dr Abstand $|\overrightarrow{MP}|$ wird vektoriell dur de Betrag vom Vektor zwüsche M und P dargstellt:

$|\overrightarrow{MX}|=r$

$|\overrightarrow{0P}-\overrightarrow{0M}|=r$

Koordinategliichig

Us dr vektorielle Gliichig loht sich ganz eifach wider d Koordinate gliichig härleite. Dr Betrag vome Vektor cha me nämlig ganz eifach mitem Pythagoras bestimme ( x & y si d Koordinate vo P, u & v si d Koordinate vo M):
$\left|\left(\begin{array}{c}x-u\\ y-v\end{array}\right)\right|=r$

$\sqrt{(x-u{)}^2+(y-v{)}^2}=r$

$(x-u{)}^2+(y-v{)}^2=r^2$

Kräisberächnig

Dr Umfang vom Kräis mit d = 1

Daarstellig von ere Nööcherig für d Kräisflechi

Chord: Kräisseene
Secant: Sekante
Tangent: Tangänte
Radius: Radius
Diameter: Durchmässer

Dr Umfang

Im Raame vo dr Elementargeometrii isch $\pi$ s Verheltnis vom Kräisumfang $U$ zum Durchmässer vom Kräis $d$, und zwar für alli Kräis. Es gältet also

$U=\pi d=2\pi r.$

Mit $r=\frac{1}{2}d$ isch dr Radius vom Kräis gmäint.

D Kräisflechi

Dr Flecheninhalt vo dr Kräisflechi $A$ (lat. area: Flechi) isch broportional zum Kwadrat vom Radius $r$ bzw. vom Durchmässer $d$ vom Kräis. Mä bezäichnet en au as Kräisinhalt.

$A=\pi r^2=\frac{\pi d^2}{4}\approx 0,78540d^2.$

Dr Durchmässer

Dr Durchmässer $d$ vom ene Kräis mit eme Flechiinhalt $A$ und mit em Radius $r$ loot sich dur

$d=2r=2\sqrt{\frac{A}{\pi }}\approx 1,1284\sqrt{A}$

berächne.

D Chrümmig

D Chrümmig git in jedem Punkt $\mathrm{P}$ vom Kräisumfang aa, wie stark dr Kräis in dr ummiddelbare Umgääbig vom Punkt $\mathrm{P}$ von ere Graade abwiicht. D Chrümmig $\kappa$ vom Kräis im Punkt $\mathrm{P}$ loot sich dur

$\kappa (\mathrm{P})=\frac{1}{r}$

berächne, wo $r$ wider dr Radius vom Kräis isch. Im Geegesatz zu andere mathematische Kurve het dr Kräis in jedem Punkt die gliichi Chrümmig. Usser em Kräis het nume no die Graadi e konstanti Chrümmig $\kappa =0$. Bi alle andere Kurve isch d Chrümmig vom Punkt $\mathrm{P}$ abhängig.

Witeri Formle

In de Formle unde nooche bezäichnet $\alpha$ dr Sektorwinkel im Boogemaass, ${\alpha }^{\prime }$ dr Winkel im Graadmaass, wo d Umrächnig $\alpha =\frac{\pi }{180^{\circ }}{\alpha }^{\prime }$ gältet. Bi dr Berächnig vo dr Flechi vom Kräisring isch $r_a$ dr üsseri Radius vom Kräisring und $r_i$ dr inneri.

Arc: Kräisbooge
Sector: Kräissektor
Segment: Kräissegmänt

Formle zum Kräis
Flechi vom Kräisring	$A=\pi (r_a^2-r_i^2)$
Lengi vom Kräisbooge	$L_B=r\alpha$
Flechi vom Kräissektor	$A_{\mathrm{S}\mathrm{K}}=\frac{r^2}{2}\alpha$
Flechi vom Kräissegmänt	$A_{\mathrm{S}\mathrm{G}}=\frac{r^2}{2}\cdot (\alpha -\sin \alpha )$
Lengi vo dr Kräisseene	$l_{\mathrm{K}\mathrm{S}}=2r\sin \frac{\alpha }{2}$
Hööchi vom Kräissegmänt	$h=r-r\cos \frac{\alpha }{2}$

Litratuur

• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Uflaag. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
• Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Uflaag. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
• Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbade 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.

Weblingg

• „Mathematische Basteleien“ zum Kreis
• Vorlage:MathWorld