Algebra

Dr Aryabhata I. (476 bis öbbe 550), e bedütende indische Mathematiker und Astronom

E Site us em Buech Vorlage:Lang

D Algebra (vo arabisch al-ǧabr, „Ergänze“, „Iirichte“ us em Ditel vom Buech Kitāb al-Dschamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind („Über s Rächne mit indische Ziffere“) vom al-Chwarizmi) isch äins vo de grundlegende Däilgebiet vo dr Mathematik. Si befasst sich mit de Äigeschaften vo Rächenoperazioone. Im Volksmund wird Algebra hüfig as s Rächne mit Umbekannte in Gliichige bezäichnet (zum Bischbil x + 1 = 2); die Umbekannte wird bzw. wärde mit Buechstabe daargstellt. As dr Begründer vo dr Algebra gältet dr Griech Diofantos vo Alexandria, wo irgenäinisch zwüsche 100 v. d. Z. und 350 n. d. Z. gläbt het. Si 13 Bänd umfassend Wärk Arithmetica isch s eltst bis hüt erhalte, wo di algebraische Method (also s Rächne mit Buechstabe) din bruucht wird.

Geschichte

D Babylonier häi Gliichigssüsteem mit dr Form

$\begin{array}{cc}x+y=& p\\ xy=& q,\end{array}$

wo ekwiwalänt zun ere kwadratische Gliichig mit dr Form $x^2+q=px$ sin, chönne löse. Si häi sich aber nid für exakti Löösige intressiert, sondern häi mit Hilf vo dr lineare Interpolazioon, approximativi Löösige usgrächnet.

Die Alte Egüpter häi sich hauptsächlig mit lineare Gliichige beschäfdigt. und Gliichige mit dr Form $x+ax=b$ und $x+ax+bx=c$, wobii a, b, und c bekannt sin und x die Umbekannti isch, mit geometrische Methode glööst.

Erst die Alte Grieche häi sich mit dr Algebra und dr Geometrii as Wüsseschaft befasst. D Terme vo algebraische Gliichige stelle binene Site daar, mäistens Streckene, vo geometrische Objekt. Mit em Konstrukzioonsverfaare mit Zirkel und Lineal häi si Löösige vo bestimmte algebraische Gliichige gfunde. Bi dr altgriechische Algebra het mä dorum vo geometrischer Algebra greedet, was in jüngster Zit aber umstritte isch.

Dr Diofantos vo Alexandria, wo woorschinlig um s Joor 250 noch dr Zitewändi gläbt het, gältet as dr bedütendsti Algebraiker in dr Antike. Si wichdigsts Wärk, d Arithmetica, het ursprünglig us drizää Büecher bestande, wo von ene säggs überlieferet sin. Er het d Arithmetik und d Algebra mit däm Wärk vo dr Geometrii glööst. Andersch as zum Bischbil d Babylonier isch er an exkaten Löösige intressiert gsi.

Klassischi und modärni Algebra

Mä däilt d Algebra hüte in die klassischi und in die modärni Algebra ii. Methode, wo bis in s 19. Joorhundert iine entwigglet worde si, ghööre zur 'klassische Algebra'. In iire undersuecht mä algebraischi Gliichige

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$,

uf d Äigeschafte vo iire Löösige. Wichdig doo isch isch dr Fundamentalsatz vo dr Algebra, wo dr Gauss bewiise het und wo ussäit, ass en algebraischi Gliichig vo dr Ordnig n in $ℂ$ genau n Löösige het, und dr Satz vom Abel, wo ussäit, ass es für en algebraischi Gliichig vom 5. Graad im Allgemäine käini Löösigsformle git, wo dr PQ-Formle äänele.

Um 1830 het dr Évariste Galois (1811-1832) d Galoistheorii entwigglet, wo mä as dr Aafang vo dr modärne Algebra cha aaluege. Sit denn het sich d Algebra vo dr Theorii vo de algebraische Gliichige äwägg zur Grubbe- und Ringtheorii entwigglet.

Am Bischbil vom Groosse fermatsche Satz gseet mä aber, ass mä die klassischi Algebra vo dr modärne nid klaar cha drenne. Dr Pierre de Fermat het scho im 17. Joorhundert d Vermuetig ufgstellt, ass die algebraischi Gliichig $a^n+b^n=c^n$ mit $a,b,c\in \mathbb{N}$ für $n>2$ käini ganzzaaligi Löösig het. Die Art vo Frooge z stelle isch für dier klassischi Algebra und d Zaaletheorii, wo in deere Zit entstanden isch, tüpisch gsi. Aber erst 1995 höi dr Andrew Wiles und dr Richard Taylor) mit modärne Methode us dr algebraische Geometrii und dr algebraische Zaaletheorii chönne bewiise, ass im Fermat si Vermuetig richdig isch.

Algebra as Däilgebiet vo dr Mathematik: Begriffsbestimmig und Gliiderig

D Inhalt und Methode vo dr Algebra si im Lauf vo dr Gschicht so stark erwiiteret worde, ass es schwiirig worde isch, e churzi Definizioon für e Begriff z gee. In dr Liste unde nooche si e baar vo de Däilgebiet vo dr Algebra ufgfüert.

• Die elementari Algebra isch d Algebra im Sinn vo dr Schuelmathematik. Si umfasst d Rächereegle vo de natürlige, ganze, brochene und reelle Zaale, dr Umgang mit Usdrück, wo s Wariable din het, und Wääg, wie mä äifachi algebraischi Gliichige cha lööse.
• Die abstrakti Algebra isch e Grundlaagedisziplin vo dr modärne Mathematik. Si beschäftigt sich mit spezielle algebraische Strukture wie Grubbe, Ring, Körper und wie die verknüpft si.
• Die lineari Algebra behandlet, wie mä lineari Gliichigssüsteem lööst, undersuecht Vektorrüüm und bestimmt Äigewärt; si isch d Grundlaag für die analütischi Geometrii.
• Die multilineari Algebra undersuecht im Geegesatz zur Tensoranalysis algebraischi Äigeschafte vo Tensore und andere multilineare Abbildige.
• Die kommutativi Algebra befasst sich mit kommutative Ring und dene iiri Ideal, Modul und Algebre und isch äng mit dr algebraische Geometrii verzaant.
• Die reelli Algebra undersuecht algebraischi Zaalkörper, wo uf ene en Aaordnig cha definiert wärde.
• D Kompiuter-Algebra beschäftigt sich mit dr sümbolische Manipulazioon vo algebraische Usdrück. E Schwerpunkt bildet s exakte Rächne mit ganze, razionale und algebraische Zaale und mit Polynom über die Zaalerüüm. Uf dr theoretische Site ghööre effiziänti Algorithme drzue und d Ermiddlig vo dene iirer Komplexidäät. Uf dr braktische Site het mä e Hufe ComputeralgebrasystemKompiuteralgebrasüsteem entwigglet, wo d Manipulazioon vo algebraische Usdrück mööglig mache.
• Die universelli oder allgemäini Algebra betrachtet ganz allgemäin algebraischi Strukture.
• Die algebraischi Geometrii undersuecht Nullstelle vo Süsteem vo algebraische Gliichige.
• Die algebraischi Zaaletheorii undersuecht Frooge vo dr Zaaletheorii mit Hilf vo Methode us dr Algebra.
• Die homologischi Algebra git sich mit Methode ab, wo mä ursprünglig Frooge vo dr Topologii im Raame vo dr algebraische Topologii uf algebraischi Sachverhalt zrugggfüert het.

Litratuur

Über d Gschicht vo dr Algebra

• Heinz-Wilhelm Alten et al.: 4000 Jahre Algebra. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9, doi: 10.1007/978-3-540-85551-4.
• Vorlage:EoM
• Bartel Leendert van der Waerden: A history of Algebra, Springer Verlag 1986.
• Bartel Leendert van der Waerden: Die Algebra seit Galois, Jahresbericht DMV, Band, 68, 1966, S. 155-165 (online).
• Jacob Klein: Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra in: Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik, Abteilung B: Studien, Band 3, Erstes Heft, Berlin 1934, S. 18-105 und Zweites Heft, Berlin 1936, p. 122-235; uusegee uf Änglisch under em Ditel: Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra. Cambridge, Mass. 1968, ISBN 0-486-27289-3.

Leerbüecher

• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: von der Gleichungsauflösung zur Galoistheorie, Vieweg+Teubner Verlag, 4. Uflaag 2009, ISBN 3-8348-0776-1, Vorlage:Doi.
• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Uflaag 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, Vorlage:Doi.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, Vorlage:Doi.
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, Vorlage:Doi
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I, II. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, ISBN 978-3-642-63446-8, Vorlage:Doi, Vorlage:Doi (zuerst als Moderne Algebra, 1930, 1931)
• Serge Lang Algebra, 3. Uflaag, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2005, ISBN 978-0387953854

Weblingg

• Ancient Greek Algebra (PDF-Datei; 26 kB)
• Vorlage:SEP