Lineares Gleichungssystem

As linears Gliichigssüsteem wird in dr lineare Algebra e Süsteem vo lineare Gliichige bezäichnet, wo meereri umbekannte Gröössene (Wariable) enthalte.

En entsprächends Süsteem für drei Umbekannti $x_1,$ $x_2,$ $x_3$ gseet öbbe eso us:

$\begin{array}{ccccccc}3x_1& +& 2x_2& -& x_3& =& 1\\ 2x_1& -& 2x_2& +& 4x_3& =& -2\\ -x_1& +& \frac{1}{2}{x}_2& -& x_3& =& 0\end{array}$

Für $x_1=1,$ $x_2=-2,$ $x_3=-2$ sin alli drei Gliichige erfüllt, es handlet sich um e Löösig vom Süsteem.

Allgemäin cha mä e linears Gliichigssüsteem mit $m$ Gliichige und $n$ Umbekannte immer in d Form undedraa bringe:

$\begin{array}{ccccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+& \cdots & +a_{1n}{x}_n& =& b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+& \cdots & +a_{2n}{x}_n& =& b_2\\ & & & ⋮& \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+& \cdots & +a_{mn}{x}_n& =& b_m\end{array}$

Mit Gliichigssüsteem wärde Zämmehäng modelliert zum Gröössene chönne bestimme, wo mä dra intressiert isch.

Wenn im e lineare Gliichigssüsteem alli $b_i$ gliich 0 si, säit mä, si sige homogen, im andre Fall inhomogen. Homogeni Gliichigssüsteem häi immer wenigstens die sogenannti driviali Löösig, wo alli Wariable gliich 0 sin. Bi inhomogene Gliichigssüsteem chas aber bassiere, ass überhaupt käi Löösig existiert.

D Matrixform

Für zum lineari Gliichigssüsteem z behandle, isch s vilmol nützlig, alli Koeffiziänte $a_{ij}$ zun ere Matrix $A,$ dr sogenannte Koeffiziäntematrix zämmezfasse:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

Denn cha mä au no alli Umbekannte und die rächti Site vom Gliichigssüsteem zu äispaltige Matrize (das sin Spaltewektore) zämmefasse:

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right);b=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

E linears Gliichigssüsteem wird, wemm mä d Matrix-Wektor-Multiplikazioon aawändet, churz eso gschriibe

$A\cdot x=b.$

D Koeffiziänte $a_{ij}$, die Umbekannte $x_j$ und au d $b_i$ stamme us em gliiche Körper $K$. Bsundrigs gilt

$A\in K^{m\times n},$ $b\in K^m$ und $x\in K^n.$

Zum e linears Gliichigssüsteem festzleege, isch s nit nöötig, ass mä die Umbekannte aagit. Es längt, wemm mä die erwitereti Koeffiziäntematrix aagit, wo entstoot, wenn mä an d Koeffiziäntematrix $A$ e Spalte mit dr rächte Site $b$ vom Gliichigssüsteem draahängt:

$\left(\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$

Litratuur

• G. Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik = Crelle's Journal. Bd. 129, 1905 Vorlage:ISSN, S. 175–180, Digitalisat.
• Andreas Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Uflaag. Vieweg, Wiesbade 2005, ISBN 3-528-13135-7.
• Falko Lorenz: Lineare Algebra. Band 1. 4. Uflaag. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelbärg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1406-7.
• Vorlage:Literatur

Weblingg

• PDF-Sammlung uf gecco.info Usfüerligi Beschriibig vo verschiidene Löösigsmögligkäite vo lineare Gliichigssüsteem (äifach, ooni Matrize)
• Arndt Brünner Scripts Onläin-Rächner zum Lööse vo lineare Gliichigssüsteem.
• Onläin-Lööser für lineari Gliichigssüsteem (änglisch, aber understützt Parameter)
• Iifüerig zu de 3 Löösigsverfaare (Video) für Schüeler und Studänte