Mahler-Maß

Vorlage:Dialäkt Vorlage:Titel Ìn dr Màthemàtik ìsch s’ Mahler-Mààs a Mààs vu dr Kompläxitäät vu da Polünooma. D’ Formel hàt dr Màthemàtiker Kurt Mahler (1903–1988) ànna 1961 gschrìewa. Urschprìnglig hàt maa-n-’s bnutzt, fìr groossa Primzààhla süacha. ’S hàt a Zammahàng mìt schpeziälla Warter vun L-Funkzioona; wagadam hàt maa mìt’m Mahler-Mààs zààhlriicha Vermüatunga ìn dr ànàlytischa Zààhlatheorii gmàcht.

Àbschtìmmung

S’ Mahler-Mààs $M(p)$ vu’ma Polünoom $p(x)\in ℂ[x]$ mìt reälla odd’r kompläxa Koeffizianta-n-ìsch

$M(p)=\underset{\tau \to 0}{\lim }\Vert p{\Vert }_{\tau }=\exp (\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p(e^{i\theta })|)d\theta ).$

Doo ìsch

$\Vert p{\Vert }_{\tau }={(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|p(e^{i\theta }){|}^{\tau }d\theta )}^{1/\tau }$

d’ $L_{\tau }$-Norm vu $p$. Mìt Hìlf vu dr Jensen-Formel kààt maa zaiga, àss üss

$p(z)=a(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$

folgt:

$M(p)=|a|\prod _{i=1}^n\max \{1,|{\alpha }_i|\}=|a|\prod _{|{\alpha }_i|\ge 1}|{\alpha }_i|.$

S’ logàrithmischa Mahler-Mààs vu’ma Polynoom bschtìmmt maa-n-àls

$m(P)=\log M(P)$.

S’ Mahler-Mààs vun’ra algebraischa Zààhl $\alpha$ ìsch aifàch s’ Mahler-Mààs vum Minimààlpolünoom vun $\alpha$ ìwwer $\mathbb{Q}$.

Aigaschàfta

• S’ Mahler-Mààs ìsch mültiplikàtiiv, dàs haisst $\mathrm{\forall }p,q,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).$
• Fìr zyklotoomischa Polünooma un ìhra Produkta hàt maa $M(p)=1$.
• Dr Sàtz vum Kronecker: Wänn $p$ a irredüzibel moonisch Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta un $M(p)=1$ ìsch, dänn ìsch äntwadder $p(z)=z,$ odd’r $p$ ìsch a zyklotoomisch Polünoom.
• D’ Vermüatung vum Lehmer sajt, àss’s a Konschtànta $\mu >1$ gìtt, so dàss jeeds irredüzibla Polünoom $p$ mìt gànzzààhliga Koeffizianta äntwadd’r zyklotoomisch ìsch odd’r $M(p)>\mu$ ärfìllt.
• S’ Mahler-Mààs vu’ma moonischa Polünoom mìt gànzzààhliga Koeffizianta-n-ìsch a Perron-Zààhl.

S’ Mahler-Mààs fìr Polünooma mìt mehrera Vàriààbla

S’ Mahler-Mààs $M(p)$ vu’ma Polünoom $p(x_1,\dots ,x_n)\in ℂ[x_1,\dots ,x_n]$ bschtìmmt maa dur d’ Formel

$M(p)=\exp (\frac{1}{(2\pi {)}^n}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\cdots \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\ln (|p(e^{i{\theta }_1},e^{i{\theta }_2},\dots ,e^{i{\theta }_n})|)d{\theta }_{1}d{\theta }_2\cdots d{\theta }_n).$

Maa kààt zaiga, àss $M(p)$ konwärschiart.

Fìr $𝒓=(r_1,\dots ,r_n)\in {\mathbb{N}}^n$ hatt maa

$q(𝒓):=\text{min}\{\text{max}\{|s_j|:1\le j\le N\}:s=(s_1,\dots ,s_N)\in {\mathbb{Z}}^N,s\ne (0,\dots ,0)\text{and}\sum _{j=1}^N{s}_j{r}_j=0\}$

Dänn ìsch

$M(p(x_1,\dots ,x_n))=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{𝒓\in {\mathbb{N}}^n}{q(𝒓)\to \mathrm{\infty }}}{\lim }M(p(x^{r_1},x^{r_2},\dots ,x^{r_n})).$

Schpeziälla Warter vun L-Funkzioona

’S sìnn zààhlriicha Beziihunga zwìscha Mahler-Mààsa (manckmol logàrithmischa Mahler-Mààsa) vu Polünooma un schpeziälla Werta vun L-Funkzioona; ainiga drvuu sìnn numma Vermüatunga, àndra sìnn bewìesa worra.

ìm Smyth siina Formel

Ànna 1981 hàt dr Smyth d’ Formel doo druff bewìesa:

$m(1+x_1+x_2)=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi }L({\chi }_{-3},2)$

wu $L({\chi }_{-3},s)$ d’ L-Funkzioon vum Dirichlet (àlso $L({\chi }_{-3},s)=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}-\frac{1}{5^s}+-\dots$) un

$m(1+x+y+z)=\frac{7}{2{\pi }^2}\zeta (3)$ ìsch;

doo ìsch $\zeta$ d’ Zeta-Funkzioon vum Riemann. Doo wìrd $m(P)=\log M(P)$ s’ logàrithmischa Mahler-Mààs gnännt.

d’ Vermüatung vum Chinburg

A Vermüatung vum Chinburg sajt, àss maa züa jeeder negàtiiva Zààhl $-f$ a Laurent-Polünoom $P_f\in \mathbb{Z}(x,y)$ un a ràzionààla Zààhl $r_f\in \mathbb{Q}$ hàt, mìt

$m(P_f)=r_f{d}_F$

fìr d’ Dischkriminànta

$d_f=\frac{f\sqrt{f}}{4\pi }L({\chi }_{-f},2)$

vum Kàràkter ${\chi }_{-f}(n)=\left(\frac{-f}{n}\right)$.

Lìteràtüür

• Vorlage:Literatur
• Derrick Henry Lehmer: Factorization of certain cyclotomic functions. Ann. of Math. (2) 34 (1933), no. 3, 461–479.
• David W. Boyd: Speculations concerning the range of Mahler's measure. Canad. Math. Bull. 24 (1981), 453–469.
• Klaus Schmidt: Dynamical systems of algebraic origin. Progress in Mathematics, 128. Birkhäuser Verlag, Basel, 1995. ISBN 3-7643-5174-8

Weblìnks

• Vorlage:MathWorld